Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

Krommingen van deelvariëteiten Het onderzoek voorgesteld in deze thesis situeert zich in een van de belangrijkste studie-onderwerpen van de differentiaalmeetkunde, namelijk de studie van deelvariëteiten. Ruwweg gezegd is dit de veralgemening van de aloude studie van krommen en oppervlakken in de 3-dimensionale Euclidische ruimte naar willekeurige dimensies en codimensies en naar willekeurige omgevende ruimten. Men kan een onderscheid maken tussen intrinsieke en extrinsieke eigenschappen van deelvariëteiten. Dit onderscheid heeft men het eerst gemaakt voor oppervlakken in de Euclidische ruimte van dimensie 3 na het theorema egregium van Gauss in 1827. Intrinsieke eigenschappen zijn de eigenschappen van de deelvariëteit bekeken als Riemannse variëteit. De intrinsieke eigenschappen van de deelvariëteit gaan over de interne meetkunde van de deelvariëteit onafhankelijk van de immersie. Deze intrinsieke eigenschappen van de deelvariëteit worden bepaald door Riemannse invarianten. Voorbeelden van dergelijke Riemannse invarianten zijn allerlei krommingen, zoals sectionele kromming, scalaire kromming, Ricci kromming,... Professor Chen noemt de Riemannse invarianten het DNA van Riemannse variëteiten. Extrinsieke eigenschappen daarentegen hebben te maken met de manier waarop de deelvariëteit geïmmergeerd is, of anders uitgedrukt met de vorm die de deelvariëteit aanneemt in de omgevende ruimte, met de manier waarop de deelvariëteit gekromd is in de omgevende ruimte. De extrinsieke eigenschappen van een deelvariëteit worden ondermeer beschreven door de shape operator of de tweede fundamentaalvorm h . Een belangrijk voorbeeld van een extrinsieke invariant is de gemiddelde krommingsvector H . Men kan differentiaalmeetkunde van deelvariëteiten bekijken als de studie van de relaties tussen intrinsieke en extrinsieke eigenschappen van deelvariëteiten. Zoeken naar verbanden tussen deze intrinsieke en extrinsieke eigenschappen van deelvariëteiten is het onderwerp van Deel I. Nadat we in hoofdstuk 1 kort enkele begrippen over Riemannse deelvariëteiten herhaald hebben, bestuderen we in hoofdstuk 2 een ongelijkheid voor de meest bestudeerde Riemannse invarianten, namelijk de krommingsinvarianten. In dit hoofdstuk geven we enkele resultaten voor een ongelijkheid die een verband geeft tussen de normale scalaire kromming en gemiddelde kromming enerzijds en de intrinsieke scalaire kromming anderzijds, voor deelvariëteiten in reële ruimtevormen. Deze ongelijkheid werd al geformuleerd in een vermoeden in 1999. Zeer recent werd dit vermoeden in zijn algemene vorm bewezen door Z. Lu en onafhankelijk door J. Ge en Z. Tang. Een grote doorbraak in dit onderzoek kwam er dankzij een artikel van professor Bang-Yen Chen in 1993. Hij definieerde een nieuwe intrinsieke krommingsinvariant die we later de delta-kromming van Chen zouden noemen en bewees een ongelijkheid die een verband geeft tussen die delta-kromming en de belangrijkste extrinsieke krommingsinvariant, namelijk de gemiddelde kromming, voor deelvariëteiten in reële ruimtevormen. Gelijkaardige ongelijkheden werden later bewezen voor Lagrangiaanse deelvariëteiten van complexe ruimtevormen en voor centro-affiene hyperoppervlakken. Enkele jaren geleden werd deze ongelijkheid in het Lagrangiaanse geval verbeterd door professor Oprea door gebruik te maken van optimalisatietechnieken. In hoofdstuk 3 bewijzen we een analoge ongelijkheid voor tensorvelden met alle eigenschappen van een krommingstensor, en geven we een alternatief algebraïsch bewijs. We onderzoeken ook het geval waarbij we gelijkheid krijgen in deze ongelijkheid. In hoofdstuk 4 beschouwen we een andere ongelijkheid van Oprea voor de Ricci-kromming. We tonen aan dat we slechts gelijkheid kunnen hebben in deze ongelijkheid op heel de deelvariëteit als deze deelvariëteit totaal geodetisch is. In Deel II van deze thesis bestuderen we deelvariëteiten van het Riemanns product van de eenheidsfeer S van dimensie n en de reële rechte IR . Door in hoofdstuk 5 rotatie-hyperoppervlakken in reële ruimtevormen te veralgemenen naar hyperoppervlakken in SxIR , krijgen we talrijke en eenvoudige voorbeelden. Voorts bestuderen we bijvoorbeeld oppervlakken waarvoor de eenheidsnormaal een constante hoek maakt met de richting die raakt aan de IR -richting. De 3-dimensionale ruimte SxIR is om verscheidene redenen een belangrijke Riemannse variëteit. Ten eerste is dit, volgens mij, na de reële ruimtevormen het meest eenvoudige voorbeeld van een 3-dimensionale homogene ruimte. Een homogene ruimte is een Riemannse variëteit waar er tussen elke twee punten p en q een isometrie bestaat die p op q afbeeldt. Intuïtief gezien is dit een Riemannse variëteit die er overal hetzelfde uitziet. Vanuit meetkundig standpunt is dit dus een zeer natuurlijke ruimte. Bovendien komen deze 3-dimensionale homogene ruimten voor in het werk van Thurston als de bouwstenen voor de 3-dimenionale meetkunde. Ook door het onderzoek naar minimale oppervlakken in een Riemanns product van een willekeurig oppervlak en de reële rechte is de ruimte SxIR onder vernieuwde aandacht van meetkundigen komen te staan. We zien dit bijvoorbeeld aan het grote aantal artikels hierover in de laatste jaren. Ten slotte bestuderen we in Deel III platte, Lagrangiaanse oppervlakken in het complexe Lorentz vlak. Het zoeken naar alle Lagrangiaanse immersies van reële ruimtevormen in complexe ruimtevormen is, vanuit het standpunt van de Riemannse meetkunde bekenen, een van de meest fundamentele problemen in de studie van Lagrangiaanse deelvariëteiten. Het doel in dit laatse deel is dan ook een classificatie geven van platte Lagrangiaanse oppervlakken in het complexe Lorentz vlak. Het hoofdresultaat toont aan dat er achtendertig families zijn van platte Lagrangiaanse oppervlakken in het complexe Lorentz vlak. Omgekeerd is elk plat Lagrangiaans oppervlak in deze ruimte lokaal congruent met een van deze achtendertig families. Curvature of submanifolds The research presented in this thesis, is situated in one of the most important topics of differential geometry, namely the study of submanifolds. This is, roughly spoken, the generalization of the study of curves and surfaces in 3-dimensional Euclidean space to arbitrary dimensions and codimensions and to arbitrary ambient spaces. We can make a distinction between intrinsic and extrinsic properties of submanifolds. This distinction was first made for surfaces in Euclidean 3-space with the theorema egregium of Gauss in 1827. Intrinsic properties are the properties of the submanifold regarded as a Riemannian manifold on its own. These intrinsic properties describe the geometry of the submanifold independently of the immersion. They are determined by Riemannian invariants. Examples of Riemannian invariants are all sort of curvatures, like sectional curvature, scalar curvature, Ricci curvature and so on. Professor Chen likes to call these Riemannian invariants the DNA of Riemannian submanifolds. On the other hand, the extrinsic properties depend on how the submanifold is immersed, or more intuitively, on the form that the submanifold takes in the ambient space, or on how much the submanifold is curved in the ambient space. Extrinsic properties are described by the shape operator or the second fundamental form h . An important example of an extrinsic invariant is the mean curvature vector H which is defined as the trace of the second fundamental form. Differential geometry of submanifolds can be regarded as the study of the relations between intrinsic and extrinsic properties of submanifolds. Looking for connections between these intrinsic and extrinsic invariants is the subject of Part I. After reviewing briefly some general facts about Riemannian submanifolds in Chapter 1, we study, in Chapter 2, an inequality for the most studied Riemannian invariants, namely the curvature invariants. In this chapter we give some results for an inequality relating the normal scalar curvature and the mean curvature with the intrinsic scalar curvature for submanifolds in real space forms. This inequality was conjectured in 1999. Very recently, this conjecture was proven in his general form by Z. Lu and independently by J. Ge and Z. Tang. A major achievement in this research about curvature inequalities was obtained by B.Y. Chen in 1993. In this paper he introduced a new intrinsic curvature invariant, which was thereafter named the delta curvature of Chen. In this paper he also proved an inequality relating delta and the main extrinsic curvature, the mean curvature H , for submanifolds in real space forms. Similar inequalities were obtained for Lagrangian submanifolds of complex space forms and for centroaffine hypersurfaces. Recently this inequality for the Lagrangian case was improved by T. Oprea using optimization techniques. In Chapter 3 we prove a similar inequality for curvature-like tensor fields and give an alternative algebraic proof. We also examine the equality case. In Chapter 4 we consider another inequality of Oprea and investigate for which submanifolds we can have equality at every point. We show that only totally geodesic submanifolds can attain equality at every point of the submanifold. In Part II of this thesis, we study submanifolds of the Riemannian product of the n -dimensional sphere S and the real line IR . In Chapter 5 we look at hypersurfaces of SxIR . By generalizing the notion of a rotation hypersurface in a real space form to hypersurfaces of SxIR , we get easy and nice examples. In Chapter 6 we restrict ourselves to surfaces in the Riemannian product of the two-dimensional sphere and IR . In particular we look at surfaces for which the unit normal makes a constant angle with the direction tangent to the IR -direction. This 3-dimensional space SxIR is for several reasons an important Riemannian manifold. Firstly, in my opinion, this is, after the real space forms, the most simple example of a 3-dimenional homogeneous space. A homogeneous space is a Riemannian manifold which satisfies the property that for every two points p and q in the Riemannian manifold, there is an isometry that maps p to q . Intuitively, this is a Riemannian manifold that looks the same at every point. From geometric point of view, we thus see that this is a very natural space. Moreover these 3-dimensional homogeneous spaces appear as the building blocks of 3-dimensional geometries in the work of Thurston. Also by the study of minimal surfaces in a Riemannian product of an arbitrary surface and the real line, the space SxIR has gained popularity among differential geometers. We see this for example by the long list of articles about SxIR in the last few years. Finally in Part III, we study flat Lagrangian surfaces in the Lorentzian complex plane. To classify Lagrangian immersions of real space forms into complex space forms is one of the most fundamental problems in the study of Lagrangian submanifolds from Riemannian geometric point of view. The main purpose of Chapter 7 is thus to classify flat Lagrangian surfaces in the Lorentzian complex plane. The main result states that there are thirty-eight families of flat Lagrangian surfaces in the Lorentzian complex plane. Conversely, every flat Lagrangian surface in the Lorentzian complex plane is locally congruent to one of the thirty-eight families. en extrinsieke eigenschappen van deelvariëteiten is het onderwerp van Deel I. In Deel II van deze thesis bestuderen we deelvariëteiten van het Riemanns product van de eenheidsfeer S van dimensie n en de reële rechte IR . Door rotatie-hyperoppervlakken in reële ruimtevormen te veralgemenen naar hyperoppervlakken in SxIR , krijgen we talrijke en eenvoudige voorbeelden. Voorts bestuderen we bijvoorbeeld oppervlakken waarvoor de eenheidsnormaal een constante hoek maakt met de richting die raakt aan de IR -richting. De 3-dimensionale ruimte SxIR is om verscheidene redenen een belangrijke Riemannse variëteit. Ten eerste is dit, volgens mij, na de reële ruimtevormen het meest eenvoudige voorbeeld van een 3-dimensionale homogene ruimte. Een homogene ruimte is een Riemannse variëteit waar er tussen elke twee punten p en q een isometrie bestaat die p op q afbeeldt. Intuïtief gezien is dit een Riemannse variëteit die er overal hetzelfde uitziet. Vanuit meetkundig standpunt is dit dus een zeer natuurlijke ruimte. Bovendien komen deze 3-dimensionale homogene ruimten voor in het werk van Thurston als de bouwstenen voor de 3-dimenionale meetkunde. Ook door het onderzoek naar minimale oppervlakken in een Riemanns product van een willekeurig oppervlak en de reële rechte is de ruimte SxIR onder vernieuwde aandacht van meetkundigen komen te staan. We zien dit bijvoorbeeld aan het grote aantal artikels hierover in de laatste jaren. Ten slotte bestuderen we in Deel III platte, Lagrangiaanse oppervlakken in het complexe Lorentz vlak. Het zoeken naar alle Lagrangiaanse immersies van reële ruimtevormen in complexe ruimtevormen is, vanuit het standpunt van de Riemannse meetkunde bekenen, een van de meest fundamentele problemen in de studie van Lagrangiaanse deelvariëteiten. Het doel in dit laatse deel is dan ook een classificatie geven van platte Lagrangiaanse oppervlakken in het complexe Lorentz vlak. Het hoofdresultaat toont aan dat er achtendertig families zijn van platte Lagrangiaanse oppervlakken in het complexe Lorentz vlak. Omgekeerd is elk plat Lagrangiaans oppervlak in deze ruimte lokaal congruent met een van deze achtendertig families.

Academic collection --- 514 --- Geometry --- Theses --- 514 Geometry

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

514 --- Geometry, Differential --- Differential geometry --- Geometry --- Geometry, Differential. --- 514 Geometry

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

Including Affine and projective classification of Conics, 2 point homogeneity's of the planes, essential isometrics, non euclidean plan geometrics, in this book, the treatment of Geometry goes beyond the Kleinian views.

514 --- Geometry --- 514 Geometry --- Mathematics. --- Mathematics, general. --- Geometry. --- Math --- Science

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

Mathematics --- Math --- Science --- 514 --- 514 Geometry --- Geometry --- Mathematics. --- Mathématiques

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

Geometry --- Convex geometry. --- Géométrie convexe --- 514 --- Convex geometry --- 514 Geometry --- Géométrie convexe